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Este acertijo no nos hará ricos, pero sí más inteligentes
Uno de los diarios más prestigiosos de Europa es el inglés The Guardian. Como sucede con casi todos los grandes matutinos del mundo, The Guardian tiene un columnista que refleja lo que sucede en el mundo de la matemática, muy especialmente con lo que se llama “matemática recreativa”. En este caso me refiero a Alex Bellos.
Bellos nació en Oxford, sus padres son húngaros, tiene 49 años y lo curioso es que fue corresponsal especial del diario durante cinco años en Brasil, más precisamente en Río de Janeiro. Enamorado del fútbol, escribió un par de libros que tuvieron marcado éxito en el Reino Unido: el primero fue una biografía de Pelé (como co-autor) y el otro se “auto-explica” con el título: Futebol: The Brazilian Way of Life.
Por supuesto, las menciones a su pasión por el fútbol en general y por Brasil en particular no son las razones por las que quiero mencionarlo aquí. Bellos escribe cada dos semanas un problema sobre matemática recreativa que es seguido por millones de lectores, trabaja además en la BBC y da charlas y conferencias recorriendo toda Europa. Y aquí es donde me quiero detener y contar una de sus historias. En realidad, es una ‘versión libre’ de la que presentó en The Guardian hace un par de meses, pero en esencia contiene la misma idea. El crédito entonces, es todo para él.
Alex propuso este problema, que yo voy a llamar “La Bolsa con el millón de dólares, por Alex Bellos”.
Suponga que entramos juntos a un enorme salón de un hotel céntrico (sin importar a qué centro me refiero. Usted puede ajustarlo a su gusto).
Avanzamos hacia un gran ventanal y aparecen cinco cofres. Están bien adornados y lucen muy nuevos. Cada uno de ellos tiene un número, del uno al cinco, y ordenados de izquierda a derecha (aunque este es un detalle totalmente irrelevante).
Lo que no es irrelevante es que adentro de uno de ellos hay una bolsa que contiene un millón de dólares en efectivo. Yo lo acompaño, pero solo para introducirlo al ‘juego’. A partir de ahora, su objetivo es tratar de encontrar el dinero. Créame que no es imposible (ni mucho menos), pero para jugar a este ‘juego’ es necesario que se cumplan ciertas reglas que detallo acá abajo.
Usted es el único participante. El día que empiece la búsqueda, la bolsa con el dinero ya estará dentro de uno de los cinco cofres. Se trata entonces de cumplir estas reglas y puede que entonces, el dinero sea suyo.
Reglas
1) Usted solamente puede abrir un cofre por día. Si abre un cofre cualquiera y encuentra el dinero, se termina la búsqueda.
2) Si usted abriera un cofre y estuviera vacío, tiene que esperar hasta el próximo día para abrir otro cofre (o incluso el mismo), pero la regla indica que usted solamente puede abrir uno cada 24 horas.
3) Eso sí: al día siguiente, usted tiene libertad para elegir qué cofre abrir, incluso cualquiera de los que abrió antes, no importa. Es como si el juego comenzara nuevamente.
4) Esto es muy importante: el dinero no puede estar en el mismo cofre más de un día. La bolsa tiene que cambiar de cofre todos los días [1]. Sin embargo, no puede ir a un cofre cualquiera, sino que todos los días cambia de un cofre a otro que sea adyacente. Por adyacente entiendo que está o a la derecha o a la izquierda del cofre que lo tenía el día anterior. Por ejemplo, si un día está en el cofre 3, al día siguiente tiene que estar o en el 4 o en el 2. Para dejar claras las ideas, si un día estuviera en el cofre número cinco, al día siguiente, la bolsa con el dinero deberá estar en el cofre que lleva el número cuatro inexorablemente. Lo importante es establecer que el dinero nunca está quieto y cambia de cofre todos los días.
Llegado a este punto, lo que usted tiene que hacer es diseñar una estrategia que permita ‘acorralar’ la bolsa y quedarse con el dinero.
Pregunta: ¿cuántos días necesita –como máximo- para asegurarse que va a encontrar la bolsa?
Ahora sí le toca a usted. Con todo, antes de retirarme, permítame hacerle la misma sugerencia que Alex Bellos les hizo a sus lectores: empiece con menos cofres, con tres por ejemplo, y fíjese si es capaz de elaborar un plan en ese caso.
Y a partir de acá, y ya por una deformación profesional, fíjese no sólo si puede resolver el caso en el que haya cinco cofres, sino intente ver si su estrategia se puede extrapolar a cualquier número de cofres (siempre manteniendo las mismas reglas) y cómo se modifica el número máximo de días para garantizar que usted va a encontrar el dinero. Mientras tanto, yo espero tranquilo acá abajo.
Una posible estrategia
Para empezar, y como escribí más arriba, le propongo reducir el número de cofres. En lugar de cinco, imagine que hay nada más que tres. Si prefiere, no siga leyendo porque voy a escribir acá una idea que terminará ‘divulgando’ una parte de la solución. Todavía está a tiempo para seguir por su lado. Y algo más: decididamente no es la única estrategia posible. Es solo una de ellas. Ahora sí, acá voy:
Supongamos que hay tres cofres, que voy a numerar 1, 2 y 3. Voy a intentar convencerla/o que con solo dos intentos yo voy a encontrar el dinero. Venga conmigo.
La bolsa puede estar en cualquiera de los tres cofres. Yo empiezo abriendo el cofre número 2. ¿Qué puede pasar? Dos posibilidades.
- a) Si lo encontré, listo: se terminó el problema.
- b) Si no lo encontré, es porque el dinero tiene que estar (forzosamente) en el cofre uno o en el cofre 3.
- c) El segundo día (y final), yo vuelvo a abrir el cofre 2. ¿Quiere pensar usted por qué SEGURO que encuentro el dinero?
Es que como el primer día no estaba en el cofre 2 (si no, yo ya lo hubiera encontrado), la bolsa no tiene otra alternativa que estar o en el 1 o el 3. Como el dinero está forzado a cambiar de cofre, y solamente puede estar en el 1 o el 3, y además, las reglas obligan a que vaya a uno adyacente, el segundo día tendrá que estar inexorablemente en el cofre 2. Como yo voy a abrir ese cofre, seguro que lo encuentro.. ¡y se terminó el problema!
Antes de avanzar, quiero hacer una ‘grilla’ o ‘cuadrícula’ en donde pueda testimoniar todo el proceso que fui relatando más arriba. Fíjese si está de acuerdo.
| Cofre 1 | Cofre 2 | Cofre 3 | |
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero |
| Día 2 | Dinero (X) |
El primer día, el dinero puede estar en cualquiera de los tres cofres (y eso lo indiqué escribiendo la palabra ‘Dinero’ en los tres casilleros). Escribí una letra X para indicar en los días 1 y 2 que ese día abrí ese particular cofre. Fíjese que en el segundo día (o sea, en la segunda fila), la palabra dinero solamente aparece en el cofre 2. ¿Por qué? No puede estar ni en el cofre 1 ni en el cofre 3, porque para poder aparecer allí, es porque el día anterior tuvo que haber estado en el cofre 2, y como yo abría ese cofre el día 1 y no había nada, esto implica que el dinero no puede estar (en el día 2) ni en el cofre 1 ni en el 3… ¡Y es por eso que puedo garantizar que en dos días encuentro el dinero!
Ahora, aumentemos en uno el número de cofres. Supongamos que ahora hay cuatro cofres. Lo que voy a hacer entonces, es usar el mismo tipo de argumentos que utilicé recién, pero ahora hay un cofre más, y ver si puedo encontrar el dinero (acorralando a la bolsa) y ver cuántos días más necesito. Es decir, en alguna parte la pregunta que me/le estoy haciendo es la siguiente:
“Si hubiera cuatro cofres, ¿servirá la estrategia que usé recién cuando había uno menos?”
Veamos.
Supongamos entonces que hay ahora cuatro cofres. Hago la misma grilla que más arriba, solo que aparece un cofre más y me permito incluir un par de días más (días 3 y 4, que aún no sé si voy a utilizar, o peor aún, no sé si me van a alcanzar). Voy a escribir una ‘tabla’ de 4 x 4, y paso a explicarme por qué lo hago.
Cofre 1 Cofre 2 Cofre 3 Cofre 4
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero |
| Día 2 | ||||
| Día 3 | ||||
| Día 4 |
Como hice antes, cada columna se corresponde con cada uno de los cuatro cofres. A su vez, cada fila se corresponde con un día diferente. Arranco así.
El primer día, el dinero puede estar en cualquiera de los cuatro cofres. Es por eso que escribí la palabra ‘dinero’ en las cuatro columnas.
A su vez, yo empiezo abriendo el cofre número 2 (y por eso, puse una ‘cruz’). Si encontrara el dinero en ese momento, se termina el problema. Supongamos que no, que el dinero no está ahí. Tengo que pasar al día 2. Ahora bien, lo mismo que antes cuando había un cofre menos, en el día 2 el cofre 1 tiene que estar vacío. Y nada más (pero nada menos). Fíjese cómo queda la grilla ahora y le anticipo, que uso una vez más una letra X o una ‘cruz’ para indicar que voy a abrir el cofre 3. Queda así:
Cofre 1 Cofre 2 Cofre 3 Cofre 4
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | |
| Día 3 | ||||
| Día 4 |
Una vez más, si cuando abro el cofre 3 encuentro el dinero, listo, se termina el problema. Si lo encuentro vacío, paso al día 3 en donde voy a VOLVER a abrir el cofre 3 (y de ahí que use la ‘cruz’ o la letra ‘X’), pero me gustaría sugerirle que antes de ver cómo completé yo la grilla, se fije qué conclusiones sacaría usted para el tercer día, si cuando abrí el cofre 3 me encontré con que el dinero no estaba allí. ¿Entonces? ¿Qué debería suceder el día 3 con el dinero y los cofres?
Cofre 1 Cofre 2 Cofre 3 Cofre 4
| Día 1 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | Dinero |
| Día 2 | Dinero | Dinero (X) | Dinero | |
| Día 3 | Dinero | Dinero (X) | ||
| Día 4 |
¿Por qué queda así? El tercer día, el dinero no puede estar en el cofre 2 porque si no, debió haber estado en el cofre 1 el día 2 (y no estaba), o debió haber estado en el cofre 3 el día 2, y tampoco estaba. Luego, el día 3, el dinero no puede estar en el segundo cofre. Pero claro, sí puede estar en el cofre 1, porque como se ve, pudo haber estado en el cofre 2 el segundo día. Por último, ¡no puede estar en el cofre 4 el tercer día! ¿Por qué? ¿Quiere pensar usted? Es que si el tercer día estuviera en el cofre 4, eso dice que el día anterior (el día 2) ¡tuvo que haber estado en el cofre 3! … y nosotros sabemos que eso no es así porque yo abrí ese cofre y estaba vacío.
Con este análisis, queda concluido el análisis del día 3. Al llegar a este punto… ¿qué haría usted el cuarto día? Fíjese que el dinero… ¡solamente puede estar en el primer cofre el tercer día! Luego, ¡no le queda otro camino que … aparecer en el cofre 2 el cuarto día! Y eso es lo que hago/hacemos: el último día (el cuarto), abro el cofre 2 e inexorablemente sé que… ¡¡¡¡me voy a encontrar con el millón de dólares!!!! Listo. Lo atrapé… lo forcé a que tuviera que estar en el segundo cofre (en el último día).
Cofre 1 Cofre 2 Cofre 3 Cofre 4
| Día 1 | Dinero |
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